设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处 ${\displaystyle n}$ 阶可导, 则称

为 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处的 ${\displaystyle n}$ 阶 Taylor 多项式, 称 ${\displaystyle a_i(0\le i\le n)}$ 为对应的 Taylor 系数.

设 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处 ${\displaystyle n}$ 阶可导, 则

其中 ${\displaystyle R_n(x)=o((x-x_0{)}^n),x\to x_0}$.
特别地, 令 ${\displaystyle x_0=0}$, 则

在 ${\displaystyle x\to 0}$ 时,

若 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle [a,b]}$ 内有 ${\displaystyle n}$ 阶连续导函数, 即 ${\displaystyle f^{(n)}(x)\in C[a,b]}$, 且 ${\displaystyle f(x)}$ 在 ${\displaystyle (a,b)}$ 内有 ${\displaystyle n+1}$ 阶导数, 即 ${\displaystyle f^{(n+1)}(x)}$ 存在, 则对 ${\displaystyle \mathrm{\forall }x,x_0\in [a,b]}$, 存在 ${\displaystyle \xi }$ 介于 ${\displaystyle x,x_0}$ 之间, 也即 ${\displaystyle \xi =x_0+\theta (x-x_0),0<\theta <1}$, 使得

其中 ${\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$.